Versuch 1.6

Bestimmung von e/m nach Busch

In einer Braun‘schen Röhre (Fig. 1) werden Elektronen von der Kathode zur Anode beschleunigt und bewegen sich dann mit konstanter Geschwindigkeit in axialer Richtung zu einem Leuchtschirm. Dabei passieren sie zwei Ablenkkondensatoren. Im ersten werden sie durch eine anliegende Wechselspannung senkrecht zur Laufrichtung abgelenkt. Die gesamte Anordnung befindet sich im Innern einer Spule, deren Achse mit der Röhrenachse übereinstimmt. Durch die Ablenkung im Kondensator wirkt auf die Elektronen eine Lorentzkraft. Sie bewegen sich in der Ebene quer zum Magnetfeld B auf Kreisbahnen. Ihre Kreis­frequenz ist e/m×B, die Stärke der Querablenkung im Kondensator bestimmt den Kreis­radius. Ist B passend für einen vollen Kreisumlauf eingestellt, beobachtet man auf dem Leucht­schirm der Braun‘schen Röhre einen Punkt, andernfalls einen Strich (Fig. 2). Die Zeiten für einen Kreis­umlauf und die Elektronen­bewegung vom Ablenkpunkt im Kondensator zum Leuchtschirm sind gleich. Hieraus läßt sich e/m berech­nen (Methode nach Busch).

 

 

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Fig. 1: Schema des Versuchsaufbaus

 

 

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Fig. 2: Projektion der Elektronenbahnen auf die Ebene des Leuchtschirms für sieben verschiedene transversale Impulskomponenenten und drei verschiedene B-Felder (B1 < B2 < B3); bei B3 findet ein kompletter Kreisumlauf statt.

 

 

 

A. Aufgabenstellung

1.    Die Projektion der Elektronenbahnen auf dem Leuchtschirm der Braun‘schen Röhre ergibt Kreisbögen, wie in Fig. 2 dargestellt. Diese Kreisscharen sind mit der Formel der Lorentz-Kraft herzu­leiten unter der Annahme, dass sich Elektronen mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung eines longitudinalen Magnetfelds B in z-Richtung bewegen und zum Zeitpunkt t = 0 im Koordinatenursprung eine vertikale Geschwindigkeitskomponente aufgeprägt bekommen.

2.    Bei der Berechnung der Elektronenbahnen nimmt man an, dass die Querkomponente der Geschwindigkeit an einer festen Position der Achse aufgeprägt wird. Diese Position ergibt sich  unter Vernachlässigung von Randfeldern aus dem Schnittpunkt der Elektronenbahn unmittelbar nach Verlassen des Kon­densators mit der Kondensatorachse. Es ist zu beweisen, dass sie bei einem Kondensator mit parallelen Platten in der Kondensatormitte liegt.

3. Der Verlauf des axialen B-Feldes zwischen Ablenkkondensator und Leuchtschirm sowie das mittlere B-Feld ist bei einem Spulenstrom von 1.5 A zu berechnen und in einem Diagramm darzustellen. Für die Durchführung der Berechnungen müssen Länge und Radius der Spule sowie der Abstand zwischen Bildschirm und dem Ablenkpunkt im Kondensator und deren Positionen innerhalb der Spule gemessen werden. Beim Kondensator des Versuchs verlaufen die Platten zunächst 9 mm parallel und dann 25 mm schräg. Die hieraus resultierende Abweichung des anzunehmenden Ablenkpunktes von der Kondensatormitte läßt sich aus Fig. 4 ablesen. Die Wicklungsdichte der Spule beträgt 100 Windungen auf 5.8 cm.



 

 

 

 

 

 

 

Fig. 3:

B-Feld auf der Spulen-Achse; Spule für verschiedene Verhält­nisse von Spulenradius R und Länge L, normiert auf B einer unendlich langen Spule gleicher Wick­lungsdichte.

4.    Mit den Formeln aus Aufgabe 3 ist für die Spule des Versuchs und einen Spulenstrom von 1.5 A der Verlauf des axialen B-Feldes zwischen Ablenkkondensator und Leuchtschirm sowie das mittlere B-Feld zu berechnen und in einem Diagramm darzustellen. Für die Durchführung der Berechnungen müssen Länge und Radius der Spule sowie der Abstand zwischen Bildschirm und dem Ablenkpunkt im Kondensator und deren Positionen innerhalb der Spule gemessen werden. Beim Kondensator des Versuchs verlaufen die Platten zunächst 9 mm parallel und dann 25 mm schräg. Die hieraus resultierende Abweichung des anzunehmenden Ablenkpunktes von der Kondensatormitte läßt sich aus Fig. 4 ablesen. Die Wicklungsdichte der Spule beträgt 100 Windungen auf 5.8 cm.

5.    Die Bestimmung von e/m erfolgt aus 2 Meßserien für jeweils mindestens 10 Werte der Kathoden­spannung U zwischen 1-2 kV und des Spulenstroms I . Das Versuchsergebnis von e/m ist proportional zur Steigung der Regressionsgeraden von U/I2 für alle 20 Messpunkte. An der Kathode der Braun‘schen Röhre wird eine Hochspannung von maximal 2 kV angelegt. Die Anode ist zu erden. Man beachte, dass die Kathoden­spannung sich von der angelegten Spannung unterscheidet, wie aus Fig. 1 zu ersehen ist. Die Strom­versorgung für den Spulenstrom wird mit einer Gleichspannung von 140 V aus den Klemmen 1 und 2 der Schalttafel gespeist. Im Spulenstromkreis ist ein Schalter vorzusehen. Man vermeide Über­lastungen der Spule (ISp £ 2A). Die Braun‘schen Röhre ist auf dem Experimentiertisch quer zur Horizontalkomponente des lokalen Magnetfeldes auszurichten, das mit einer Magnetnadel bestimmt wird.

Abb. 4:

Elektronen-Ablenkung in einem Kondensator von 34 mm Länge für verschiedene Anordnungen der Kondensator-Platten:

a) parallel im Abstand dmax

b) schräg mit Variation von
    dmin  bis dmax

c) 9 mm parallel mit dmin  +
    25 mm schräg bis dmax

dmin  = 1.0 mm, dmax  = 3.2 mm
(Abstand von der Mitte);
eingezeichnet ist außerdem die Tangente an die Elektronenbahn am Kondensatorende.

6.    In der Fehlerrechnung sind die Fehler von Radius und Länge der Spule, der Position von Leuchtschirm und Kondensator-Ablenkpunkt sowie von U/I2 zu berücksichtigen. Der Fehler von U/I2 ergibt sich aus der Standardabweichung der Steigung der Regressionsgeraden. Außerdem ist zu entscheiden, ob die Vernachlässigung des Erdmagnetfelds und die Durchführung einer klassischen anstelle einer relativisti­schen Rechnung vertretbar sind. Welchen Prozentsatz der Lichtgeschwindigkeit haben Elektronen von 2 keV und 10 keV?

B. Geräte

1 Braun‘sches Rohr mit abnehmbarer Magnetspule (100 Windungen auf 5.8 cm)

1 Hochspannungsnetzgerät

1 Gerät zur Erzeugung von Spulenstrom

2 Transformatoren (220 V; 6 V + 12 V)

1 Voltmeter (2 kV)

1 Amperemeter

2 Schiebewiderstände

1 Schalter

1 Magnetnadel

C. Literatur

H. Busch, Phys. Zeitschrift, 23, 438 (1922)

E. Goedicke, Ann. Physik 36, 47 (1939)

F. Wolf, Ann. Physik 83, 849 (1927)

E.W. Schpolski, Atomphysik I, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1973

W. Westphal, Physik, Springer, Berlin, New York, 1970

M. Böhm, A. Scharmann, Höhere Experimentalphysik, VCH, Weinheim, 1992

D. Formeln zur Fehlerrechnung

1. Fehlerfortpflanzung

Gegeben sei die physikalische Größe  als Funktion der Messwerte , die in folgen­der Form vorliegen:  Dabei bedeuten arithmetische Mittelwerte von a, b, c und Da, Db, Dc die Messunsicherheiten, für die man bei Mehrfachmessungen die Standard-abwei­chungen  der Mittelwerte benutzt. Es gilt

Mittelwert der Größe :              

Standardabweichung des Mittelwerts :

mit             usw.

Resultieren die  nicht aus Mehrfachmessungen, sondern nur aus einer Abschätzung des Größt­fehlers, so wird auch für z ein Größtfehler angegeben und es gilt

                                                 (1)

mit den partiellen Ableitungen ,  und  von .

Sonderfall:

Sehr häufig treten in der Physik Funktionen auf des Typs   wobei   reelle Konstanten sind. In diesem Fall lassen sich die Faktoren der partiellen Ableitungen kürzen, wenn man statt des absoluten Fehlers den relativen Fehler bestimmt

Standardabweichung  des Mittelwerts:    

Abschätzung des Größtfehlers Dz:                    .

Vorsicht bei Substitutionen!

In der Endgleichung zur Bestimmung von e/m stehen als Variablen unter anderem die Abstände vom Spu­lenanfang zum Leuchtschirm und zum Ablenkpunkt im Kondensator. Diese beiden Variablen werden gemessen. Die Herleitung der Gleichung verleitet dazu, eine von beiden durch die Laufstrecke vom Ablenkpunkt zum Leuchtschirm zu substituieren. Für die Bestimmung von e/m ist dies ohne Bedeutung, für die Berechnung des Größtfehlers jedoch nicht. Dies sei am folgenden einfachen Beispiel demonstriert:

Gegeben sei die von den Variablen a und b abhängige Funktion Dann gilt nach Gl. (1) für die Abschätzung des Größfehlers

                  .                                                                       (2)

Man kann nun eine neue Variable  einführen und die Substitution  vornehmen und erhält

                  .

Die Fehlerbestimmung analog zu Gl.(2) ergibt hierfür

                   .

Aus der Rücksubstitution von c und und der Annahme a,b > 0 folgt

                  .                 
Dies unterscheidet sich um  von Gl.(2). Übereinstimmung mit (2) hätte sich ergeben für  Die Tatsache, daß Größtfehler der Variablen einer Differenz sich addieren, kann bei Substitutionen offensichtlich zu Abweichungen in der Fehlerberechnung führen. Man vermeidet derartige Probleme, indem man Substitutionen bei der Fehlerrechnung vermeidet und nur die tatsächlichen Messgrößen verwendet.

Lineare Regression

Durch  Messpunkte   wird eine Ausgleichsgerade  so gelegt, dass die Summe der Gaußschen Fehlerquadrate  minimal wird. Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach den Parametern m und c erhält man

wobei alle Summationen von bis n laufen.

Unsicherheit als Maß für die Streuung der Messwerte yi:

  .

Unsicherheit  der Steigung m der Regressionsgeraden:

.

Unsicherheit  des Achsenabschnitts c der Regressionsgeraden:

.